No início deste roteiro, mencionamos que nosso principal objetivo é a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS.

Vamos verificar como podemos proceder na investigação de certos argumentos de modo formal .

DEFINIÇÃO: Chamamos ARGUMENTO uma seqüência
A1 , A2 ,A3 ,... , An , B (n ³ 0) de fórmulas onde os Ai (0< i < n) chamam-se premissas e a última fórmula B, conclusão.

DEFINIÇÃO: Um ARGUMENTO A1 , A2 ,A3 ,... , An , B é VÁLIDO se e somente se, sendo as premissas verdadeiras a conclusão B também é verdadeira, ou ainda, se e somente se, a fórmula

Com o uso das tabelas verdade é suficiente verificar se a fórmula
A1Ù A2ÙA3 Ù... Ù An ® B é tautologia.

Exemplo: O argumento p, q® r, ~ r, ~ q é válido pois a fórmula
(p Ù (q ® r) Ù~ r ) ® ~ q é uma tautologia.
O que verificamos nas linhas onde as premissas são verdadeiras que a conclusão também é verdadeira
(tabela verdade abaixo, linha 4).

p	q	r	p	q ® r	~ r	~ q
V	V	V	V	V	F	F
V	V	F	V	F	V	F
V	F	V	V	V	F	V
V	F	F	V	V	V	V
F	V	V	F	V	F	F
F	V	F	F	F	V	F
F	F	V	F	V	F	V
F	F	F	F	V	V	V

Podemos verificar a validade de um argumento através de métodos de demonstração :

1. DEMONSTRAÇÃO DIRETA
2. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA - CONDICIONAL
3. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA - POR ABSURDO
4. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA – ÁRVORE DE REFUTAÇÃO

Exemplo : Demonstrar a validade do argumento p, q ® r , ~ r , ~ q
Demonstração :
1. p                  premissa
2. q ® r          premissa
3. ~r                premissa
4. ~q               Conclusão (2 e 3 : Modus Tollens)

Exemplo :Demonstrar a validade do argumento ~p ® q , q ®~ r , r Ú s , ~ s ® p
Demonstração :
1. ~p ® q         premissa
2. q ® ~ r        premissa
3. r Ú s              premissa
4. ~p ®~r      1.2. Silogismo Hipotético
5. ~r ® s        3. Def. de implicação
6. ~p ® s       4.5. Silogismo Hipotético
7. ~s ®~~p 6. Contraposição
8. ~s ® p       Conclusão 7. Negação

Para demonstrar a validade de argumentos cuja conclusão é uma fórmula condicional do tipo B ® C , considera-se o antecedente B, como uma premissa adicional e o conseqüenteC será a conclusão a ser demonstrada.
De fato, sendo:
1.  A1 , A2 , A3 ,... , An , B , C  válido então
2.  A1 , A2 , A3 ,... , An , B |¾ C isto é,
3. ((A1 Ù A2 ÙA3 Ù... Ù An ) Ù B ) ® C é tautologia
4.  (A1 Ù A2 ÙA3 Ù... Ù An ) ® (B ® C) é tautologia (Importação e Exportação) e portanto
5.  A1 , A2 , A3 ,... , An  |¾ B ® C ou ainda,
6.  A1 , A2 , A3 ,... , An, B ® C é válido

Exemplo : Demonstrar a validade do argumento ~p ® q , q ®~ r , r Ú s , ~ s ® p
Demonstração :
1. ~p ® q   premissa
2. q ® ~ r   premissa
3. r Ú s         premissa
4. ~s             premissa adicional
5. r             3.4. Silogismo Disjuntivo
6. ~p ®~ r  1.2. Silogismo Hipotético
7. r ® p       6. Contraposição
8. p               Conclusão 5.7. Modus Ponens

Para demonstrar, por absurdo, um argumento A1 , A2 , A3 ,..., An, B considera-se a negação da conclusão~B como premissa adicional e conclui-se uma fórmula F (fórmula falsa do tipo a Ù~a)
De fato, sendo:
1.A1 , A2 , A3 ,..., An , ~ B |¾ F válido, temos
2.A1 , A2 , A3 ,..., An |¾~ B ® F  isto é,
3.A1 , A2 , A3 ,..., An |¾~~ B Ú F (Def. implicação)
4.A1 , A2 , A3 ,..., An |¾ B Ú F (Negação)
5.A1 , A2 , A3 ,..., An |¾B (Propriedade de F) ou ainda,
6.A1 , A2 , A3 ,... , An , B é válido.

Exemplo : Demonstrar, por absurdo, a validade do argumento
~p ® q , q ®~ r , r Ú s , ~ s ® p
1.~p ® q                premissa
2. q ® ~ r               premissa
3. r Ú s                     premissa
4. ~(~ s ® p)    premissa adicional
5.~p ®~ r             1.2. Silogismo Hipotético
6. ~r ® s               3. Def. de implicação
7. ~p ® s              5.6. Silogismo Hipotético
8. ~s ® p              7. Contraposição
9. ~(~ s ® p) Ù (~ s ® p) 4. 8. Conjunção
10. F