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Se a natureza não fosse bela, não valeria a pena estudá-la e a vida não valeria a pena ser vivida.Henry Poincaré Não encontrar nenhuma contradição ao longo de seu desenvolvimento lógico não era condição suficiente para garantir a coerência dessas novas geometrias, pois nada garantia que uma contradição pudesse surgir mais à frente no desenvolvimento de um novo teorema. Na geometria euclidiana, uma vez que os axiomas e os postulados eram auto-evidentes e, portanto aceitos por todos, as proposições decorrentes deles só poderiam ser verdadeiras. Porém com as outras geometrias, não era possível essa garantia a priori, pois os novos postulados, em substituição ao V de Euclides, não eram evidentes e não tinham significado físico. Torna-se necessário a elaboração de um modelo, ou seja, uma representação gráfica, uma interpretação dos termos primitivos de forma que os axiomas sejam enunciados verdadeiros. Até então os descobridores das outras geometrias haviam desenvolvido um sistema axiomático formal, mas não apresentaram um modelo de representação. Trudeau (2004, p.254, tradução nossa original em italiano) define modelo de um sistema axiomático formal “toda interpretação (significado) dos termos primitivos tais que os axiomas tornam-se enunciados verdadeiros”. Segundo Bergamini et aL (2003) modelos construídos mostram também uma outra vantagem: por meio deles foi possível visualizar os entes do plano não-euclidiano com entes particulares do plano euclidiano, o que tornou claro, ao menos em parte, a natureza altamente não intuitiva da geometria de Lobachewsky (BERGAMINI et al, 2003, p.25, tradução nossa do original em italiano). O primeiro a elaborar um modelo para a geometria hiperbólica foi Beltrami (Pseudo-esfera), seguido de Klein (que utiliza a geometria projetiva) e Poincaré que elaborou dois modelos (Semi-plano Superior e o Disco). Apresentamos o modelo do Disco de Poincaré na Atividade 2.
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