Geometria Absoluta

O geômetra é livre de erguer as suas construções abstratas, respeitando apenas as leis da razão. M. Amoroso Costa

Após as tentativas citadas no Quadro II, os cientistas começaram a concluir que talvez o V postulado não fosse demonstrável. G.S.Klugel (1739-1812) em sua dissertação de 1763, intitulada “Conatuum praecipuorum theoriam parallelarum demonstradi recensio” examinou 28 tentativas de demonstrar a teoria das paralelas e lançou a hipótese de “que o próprio postulado não fosse demonstrável, mas tivesse valor só no juízo dos nossos sentidos” (TRUDEAU, 2004, p. 172).

Klugel

Nesse contexto, alguns matemáticos iniciaram seus estudos considerando que o V postulado pudesse ser substituído por outro (não equivalente a ele), ou seja, poderia se elaborar outras axiomáticas, que talvez pudessem ser tão coerentes quanto àquela proposta por Euclides.

Uma vez que seria alterado somente o V postulado, todos os termos primitivos, os definidos, os axiomas e os teoremas demonstrados sem o V postulado, que compunham a geometria euclidiana seriam também válidos nessa nova proposta. Surge assim a idéia de uma geometria[1] neutra ou absoluta, ou seja, uma geometria comum a todos os sistemas axiomáticos (elaborados a partir dos termos e axiomas citados). Podemos notar que nela, por exemplo, não é possível determinar a soma dos ângulos de um triângulo ou calcular áreas das figuras.

Podemos então esquematizar da seguinte forma, considerando a axiomatização de Hilbert:

“Podemos perceber então que a geometria neutra não implica o V postulado, e como conseqüência, é logicamente possível uma geometria alternativa àquela de Euclides” (ibiden , p. 172).

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