AXIOMÁTICA DE HILBERT

TERMOS PRIMITIVOS

TP 01

Ponto

TP 02

Reta

TP 03

Plano

RELAÇÕES PRIMITIVAS

RP 01

Estar em

RP 02

Entre

RP 03

Congruente

AXIOMAS DE INCIDÊNCIA

I 01

Para cada dois pontos A, B há sempre uma reta a que está associada com cada um dos dois pontos A, B.

I 02

Para dois pontos A, B não há mais do que uma reta que está associada com cada um dos dois pontos A, B.

I 03

Sobre uma reta há sempre, pelo menos, dois pontos. Há pelo menos três pontos que não estão sobre uma mesma reta.

AXIOMAS DE ORDEM

O 01

Se um ponto B está entre um ponto A e um ponto C, então A, B, C são três pontos distintos duma reta,e B está também entre C e A. Em símbolos: A * B * C ou C * B * A.

O 02

Para cada dois pontos A e C há sempre, pelo menos, um ponto B sobre a reta AC tal que C está entre A e B. Em símbolos: A * C * B.

O 03

Dados três pontos quaisquer  duma reta, não há mais do que um que está entre os outros dois.

O 04

(Axioma de Pasch) Toda reta traçada de um ponto do triângulo a um seu ponto interno intersectará o triângulo, se prolongada, em mais um ponto.

AXIOMAS DE CONGRUÊNCIA

C 01

Se A e B são dois pontos de uma reta a e A' é um ponto de uma reta a', pode-se sempre encontrar sobre uma semi-reta de a' um ponto B' determinado por A' tal que o segmento AB seja congruente ou igual ao segmento A'B'. Em símbolos: AB ≡ A'B'

C 02

(transitividade) Se os segmentos A'B' e A''B'' são congruentes com o mesmo segmento AB, também o segmento A'B' é congruente com o segmento A''B''.

C 03

Sejam AB e BC dois segmentos da reta a sem pontos comuns, e por outro lado A'B' e B'C' dois segmentos sem pontos comuns sobre a mesma reta a ou sobre outra distinta a': se AB ≡ A'B' e BC ≡ B'C' então AC ≡ A'C'.

C 04

Sejam dados um ângulo , uma reta a' e um dos lados determinados por a', e representemos por h' uma semi-reta de a' que parte de O': existe então uma e uma só semi-reta k' tal que o ângulo seja congruente ou igual ao ângulo ; utilizando símbolos: e tal que por sua vez todos os pontos interiores do ângulo estão situados no lado dado em relação a a'. Todo ângulo é congruente consigo mesmo, isto é, verifica-se sempre .

C 05

Se em dois triângulos ABC e A'B'C' se verificam as congruências AB ≡ A'B', AC ≡ A'C', , então tem-se sempre também que

AXIOMAS DE CONTINUIDADE

Ct 01

(Axioma de Arquimedes): Se AB e CD são segmentos quaisquer, então existe um número natural n tal que n segmentos congruentes a CD construídos continuamente a partir de A sobre a semi-reta AB, conterá o ponto B.

Ct 02

(Axioma da Continuidade Circular): Se uma circunferência C tem um ponto no interior e um ponto no exterior de uma outra circunferência C, então as duas circunferências se cortam em dois pontos.

Ct 03

(Axioma da Continuidade Elementar): Se uma extremidade de um segmento de reta está no interior de uma circunferência e a outra extremidade no exterior, então o segmento corta a circunferência em um ponto.

AXIOMAS DE PARALELISMO

P 01

Seja a uma reta qualquer e A um ponto exterior a a; então, no plano determinado por a e A há, no máximo, uma reta que passa por A e não corta a.

TERMOS DEFINIDOS

D 01

Os pontos que estão situados entre A e B chamam-se os pontos do segmento AB ou BA.

D 02

Toda a reta é dividida por qualquer dos seus pontos em duas semi-retas.

D 03

A duas semi-retas h e k que partem de um ponto A e que não formam uma reta, damos o nome de ângulo e o designamos por ou

D 04

Dadas duas semi-retas h e k, os pontos do plano que em relação a h estão no mesmo lado que k, e ao mesmo tempo estão no mesmo lado que h em relação a k denominam-se pontos interiores do ângulo e formam o espaço angular [interior] deste ângulo.

D 05

Um sistema de segmentos AB, BC, CD,...KL chama-se uma poligonal que une os pontos A e L; esta poligonal também se designará abreviadamente por ABCD...KL. Os pontos do interior dos segmentos AB, BC, CD,...,KL, assim como os pontos A,B,C,D,...K,L chamam-se, todos eles os pontos da poligonal. Em particular, se os pontos A,B,C,D,...,K,L estão todos num plano e se, além disso, o ponto L coincide com o ponto A, então a poligonal chamar-se-á um polígono e designar-se-á por polígono ABCD...K. Os segmentos AB, BC, CD,...,KL chamam-se também os lados do polígono. Os pontos A,B,C,D,...K chamam-se os vértices do polígono. Polígonos com 3, 4, ..., n vértices chamam-se triângulos, quadriláteros, ..., polígonos com n vértices [ou n-ágonos].

D 06

Dois ângulos que têm o vértice e um lado comuns e cujos lados não comuns constituem uma reta, chamam-se ângulos adjacentes suplementares. Dois ângulos com o vértice comum em que cada lado dum deles constitui com um dos lados do outro uma reta, chamam-se ângulos verticalmente opostos. Um ângulo que é congruente com um seu ângulo adjacente suplementar, chama-se um ângulo reto.

D 07

Um triângulo ABC diz-se congruente com um triângulo A'B'C', se são verificadas todas as congruências:

,,, , e .

D 08

Um ângulo que é maior que o seu ângulo adjacente suplementar, ou maior do que um ângulo reto, chama-se um ângulo obtuso; um ângulo que é menor do que o seu ângulo adjacente suplementar, ou do que um ângulo reto, chama-se um ângulo agudo.

D 09

Os ângulos , e que pertencem a um triângulo ABC chamam-se os ângulos deste triângulo; os ângulos adjacentes suplementares chamam-se os seus ângulos externos.

D 10

Duas retas dizem-se paralelas se estão num mesmo plano e não se intersectam.

D 11

Se M e um ponto qualquer dum plano a, então ao conjunto de todos aqueles pontos A, em a, para os quais os segmentos MA são congruentes entre si, chama-se circunferência; a M chama-se centro da circunferência e MA é dito raio.

D 12

Um ponto está no interior ou no exterior de uma circunferência se o segmento de reta que une ao centro da circunferência é respectivamente menor ou maior do que o raio. No caso de ser igual ao raio, dizemos que o ponto em questão pertence a circunferência.

D 13

Duas retas dizem-se perpendiculares se são concorrentes e formam ângulos adjacentes suplementares congruentes.

D 14

Bissetriz interna de um triângulo é o segmento, com extremidades num vértice e no lado oposto, que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes.

D 15

Mediana de um triângulo é um segmento com extremidades num vértice e no ponto médio do lado oposto.

D 16

Os triângulos, quanto aos lados se classificam em:

eqüilátero : seus três lados são congruentes;

isósceles: dois de seus lados são congruentes, e o outro lado é dito 'base';

escaleno: nenhum de seus lados são congruentes.

D 17

Ponto Médio de um segmento é o ponto desse segmento eqüidistante das extremidades.

D 18

Círculo é a região compreendida por uma circunferência e sua região interior.

D 19

Chama-se arco de circunferência, a região da circunferência limitada por dois de seus pontos.

D 20

Ângulo Central relativo a uma circunferência é o ângulo que apresenta o vértice no centro da circunferência.

D 21

Ângulo Inscrito relativo a uma circunferência é um ângulo que apresenta o vértice na circunferência e os lados são secantes a ela.

D 22

Diz-se que um polígono está inscrito numa circunferência quando todos os seus vértices são pontos dessa circunferência.

D 23

Dois ângulos são complementares se, e somente se, a soma de suas medidas for igual a um ângulo reto.

D 24

Num triângulo isósceles a mediatriz, a bissetriz e a altura relativas à base são coincidentes.

D 25

Corda de um circunferência é um segmento cujas extremidades são pontos da circunferência