Axiomatização dos Elementos - Livro I

 

Este maravilhoso livro [Elementos] com toda as suas imperfeições, as quais realmente são desprezíveis quando avaliadas pela época que apareceram, sem dúvida permanecerá o mais formidável texto matemático de todos os tempos. Proclus.

Inspirados em Trudeau (2004), p.117-119, tradução nossa do original em italiano), introduzimos a seguir o Quadro 1.1, que é a organização da axiomática dos Elementos. Algumas das lacunas lógicas, comentadas pelo autor, são citadas na seqüência do texto. Os 48 teoremas apresentados no livro I foram subdivididos em dois grupos: os que usam o V postulado (ou um seu equivalente) e os que não o utilizam nas suas demonstrações, para melhor compreensão da geometria absoluta, a qual será exposta nos tópicos seguintes.

Embora não utilizaremos a axiomática euclidiana para elaborar nossas demonstrações, optamos pela inclusão comentada das mesmas, para que o leitor, caso a desconheça, tenha oportunidade de leitura, e possa se familiarizar com as inconsistências lógicas do texto, comparadas com a evolução do rigor na matemática, fato que culminou em algumas re-elaborações axiomáticas no decorrer da história.

 

QUADRO I – AXIOMÁTICA EUCLIDIANA

TERMOS PRIMITIVOS

01

Um ponto é o que não tem partes.

02

Uma linha é o que tem comprimento sem largura.

03

As extremidades de uma linha são pontos.

04

Uma linha reta é uma linha que repousa igualmente entre as suas extremidades.

05

Uma superfície é o que tem apenas comprimento e largura.

06

As extremidades de uma superfície são linhas.

07

Uma superfície plana é uma superfície que repousa igualmente entre as suas linhas retas.

TERMOS DEFINIDOS

08

Um ângulo plano é a inclinação recíproca de duas linhas que se tocam numa superfície plana e que não fazem parte da mesma linha reta.

09

Quando as linhas que contêm o ângulo são linhas retas, o ângulo chama-se retilíneo.

10

Quando uma linha reta, incidindo com outra linha reta, fizerem dois ângulos iguais, cada um desses ângulos é reto, e a linha reta incidente diz-se perpendicular à linha com a qual incide.

11

Um ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto.

12

Um ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo reto.

13

Chama-se termo (fronteira) aquilo que é a extremidade de alguma coisa.

14

Figura é um espaço, fechado por um ou mais termos (fronteira).

15

Um círculo é uma figura plana, fechada por uma só linha, chamada circunferência, de forma que todas as linhas retas, que de um ponto existente no meio da figura se conduzem para a circunferência, são iguais entre si.

16

O ponto chama-se centro do círculo.

17

O diâmetro do círculo é uma linha reta, que passa pelo centro, e termina por ambos os lados na circunferência.

18

Semi-círculo é uma figura compreendida entre o diâmetro e a parte da circunferência, que é cortada pelo diâmetro.

19

Segmento de círculo é uma figura compreendida entre uma linha reta e uma porção da circunferência.

20

Figuras retilíneas são aquelas formadas por linhas retas.

21

As figuras triláteras são aquelas formadas por três linhas retas.

22

As figuras quadriláteras são aquelas formadas por quatro linhas retas.

23

As multiláteras aquelas formadas por mais de quatro linhas retas.

24

Das figuras triláteras, o triângulo equilátero é a que tem três lados iguais.

25

O triângulo isósceles o que tem dois lados iguais.

26

O triângulo escaleno o que tem os três lados desiguais.

27

O triângulo retângulo é o que tem um ângulo reto.

28

O triângulo obtusângulo é o que tem um ângulo obtuso.

29

O triângulo acutângulo é o que tem todos os ângulos agudos.

30

Entre as figuras quadriláteras, o quadrado é a que é simultaneamente equilátero e retângulo.

31

O retângulo é a figura, que tem uma parte mais comprida, é retângula mas não eqüilátera.

32

O rombo é uma figura equilátera mas não retângula.

33

O rombóide é a que, tendo os lados opostos iguais, nem é equilátera nem eqüiângula.

34

Todas as outras figuras quadriláteras, que não são as referidas, se chamam trapézios.

35

Linhas retas paralelas são linhas retas que, estando na mesma superfície plana e sendo estendidas indefinidamente em ambas as direções, nunca chegam a se tocar.

AXIOMAS

POSTULADOS

01

É possível desenhar uma linha reta de qualquer ponto para qualquer ponto

02

É possível produzir uma linha reta finita continuamente numa linha reta

03

É possível descrever um círculo com qualquer raio e centro

04

Todos os ângulos retos são iguais

05

Se uma linha reta, cortando outras duas linhas retas forma, do mesmo lado, os ângulos internos cuja soma seja menor que dois ângulos retos, então essas duas retas, prolongadas indefinidamente, encontrar-se-ão no lado no qual a soma dos ângulos é menor que dois ângulos retos.

AXIOMAS

01

Coisas que são iguais a uma mesma coisa também são iguais entre si.

02

Se iguais forem adicionados a iguais, os resultados são iguais.

03

Se iguais forem subtraídos de iguais, os resultados são iguais.

04

Coisas que coincidem uma com a outra são iguais.

05

O todo é maior que qualquer uma de suas partes.

TEOREMAS DEMONSTRADOS SEM O POSTULADO 5

01

Dada uma reta finita, é possível construir sobre ela um triângulo eqüilátero.

02

É possível traçar uma linha reta igual a uma dada linha reta com extremidade num dado ponto

03

É possível dadas duas linhas retas desiguais, obter da linha reta maior uma parte igual à linha reta menor

04

(LAL) Se dois triângulos apresentam respectivamente iguais dois lados e o ângulo compreendido entre eles, então os demais lados e ângulos serão respectivamente iguais.

05

Nos triângulos isósceles os ângulos da base são iguais entre si

06

Se num triângulo dois ângulos são iguais entre si, então, os lados opostos aos tais ângulos são também iguais entre si.

07

De qualquer extremidades de uma linha reta dada, chamada base, se conduzem duas outras linhas retas que se encontram em um ponto; não é possível construir, com os mesmos extremos e da mesma parte, duas linhas retas respectivamente iguais àquelas inicialmente construídas  que tenham um ponto de encontro diferente

08

(LLL) Se dois triângulos têm respectivamente dois lados iguais, e bases também iguais, então também são iguais os ângulos formados entre os lados iguais correspondentes.

09

É possível dividir pela metade um ângulo retilíneo dado.

10

É possível dividir pela metade uma reta finita dada.

11

Dada uma reta, é possível de um seu ponto levantar uma perpendicular.

12

De um ponto externo a uma reta infinita dada é possível levantar uma perpendicular a reta dada.

13

Se uma reta incidindo com uma outra linha reta, formará com esta, ou dois ângulos retos ou dois ângulos cuja soma é igual  a dois retos.

14

Se por um ponto de uma reta, concorrem de partes opostas duas retas, fazendo com a primeira reta ângulos adjacentes iguais a dois retos, as retas, que concorrem para o dito ponto estarão em linha reta.

15

Se duas retas se intersectam, formam ângulos opostos ao vértice iguais entre si

16

Em qualquer triângulo, prolongando-se um dos lados, o ângulo externo é sempre maior que cada um dos dois ângulos internos e opostos.

17

Em qualquer triângulo a soma de dois ângulos internos quaisquer, é menor que dois retos.

18

Em um triângulo, o lado maior é oposto ao ângulo maior.

19

Em um triângulo, o ângulo maior é oposto ao lado maior.

20

(Desigualdade Triangular): Em um triângulo a soma de dois lados quaisquer, é maior que o outro lado.

21

Se sobre os extremos de um lado de um triângulo estiverem postas duas retas dento do mesmo triângulo, estas serão menores que os outros dois lados do triângulo, mas compreenderão um ângulo maior do que o ângulo, que fica oposto ao lado, sobre cujos extremos estão postas as ditas retas.

22

É possível construir um triângulo com três linhas retas iguais a três outras dadas, entre as quais quaisquer duas, sejam sempre maiores que a terceira.

23

É possível construir numa reta dada, e com vértice em um seu ponto qualquer, um ângulo retilíneo igual a um ângulo retilíneo dado.

24

Se dois triângulos tiverem dois lados respectivos iguais e ângulos compreendidos entre eles diferentes, o lado oposto ao ângulo maior será maior que o outro lado respectivo.

25

Se dois triângulos tiverem dois lados respectivos iguais e o outro lado de um triângulo for maior que o do outro, o ângulo compreendido pelos lados iguais, que ficar oposto ao maior lado, será maior do que o outro.

26

(a) (ALA): Se dois triângulos têm iguais dois ângulos e um lado, comum a eles, correspondentes, então, os outros lados e o ângulo correspondentes também são iguais

(b) (AAL): Se dois triângulos têm respectivamente iguais dois ângulos e o lado oposto a um deles, então, os triângulos são congruentes.

27

Se, quando duas retas são intersectadas por uma terceira, fizer com elas ângulos alternos iguais, as mesmas duas retas são paralelas.

28

Se, quando duas retas são intersectadas por uma terceira, fizer o ângulo externo igual ao interno e oposto da mesma parte; ou também dois internos da mesma parte iguais a dois retos, as mesmas duas retas são paralelas.

31

Por um ponto dado fora de uma reta dada, é possível traçar uma linha reta paralela à reta dada.

TEOREMAS DEMONSTRADOS COM O POSTULADO 5

29

Num plano, uma reta que intersecta duas retas paralelas forma com elas ângulos alternos iguais entre si, ou ângulos externos iguais aos ângulos internos opostos da mesma parte, e finalmente ângulos internos da mesma parte, iguais a dois retos.

30

Retas paralelas a uma mesma reta são paralelas entre si.

32

(a) Em todo triângulo, se si prolongar um dos lados, o ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos opostos.

(b) Em todo triângulo a soma dos três ângulos internos do triângulo é igual a dois retos.

33

As retas, que da mesma parte estão postas entre as extremidades de duas outras retas iguais e paralelas, são também iguais e paralelas.

34

Os paralelogramos apresentam lados opostos iguais entre si e são divididos pela diagonal em duas partes iguais.

35

Paralelogramos que apresentam a mesma base e estão compreendidos entre as mesmas paralelas são iguais entre si.

36

Paralelogramos que estão postos sobre bases iguais, e entre as mesmas paralelas, são iguais entre si.

37

Triângulos com a mesma base e compreendidos entre as mesmas paralelas são iguais entre si.

38

Triângulos postos em bases iguais e compreendidos entre as mesmas paralelas são iguais entre si.

39

Triângulos iguais postos sobre a mesma base, e da mesma parte, estão entre as mesmas paralelas.

40

Triângulos iguais postos sobre bases iguais, e da mesma parte, estão entre as mesmas paralelas.

41

Se um paralelogramo e um triângulo estiverem sobre a mesma base e entre as mesmas paralelas, o paralelogramo é o dobro do triângulo.

42

É possível construir um paralelogramo, que seja igual a um triângulo dado, e que tenha um ângulo igual a outro ângulo dado.

43

Em qualquer paralelogramo os complementos dos paralelogramos, que existem ao redor da diagonal, são iguais entre si.

44

È possível sobre uma linha reta dada construir um paralelogramo igual a um triângulo dado, e que tenha um ângulo igual a outro ângulo retilíneo dado.

45

È possível construir um paralelogramo igual a uma fiugra retilínea qualquer dada, e com ângulo igual a outro ângulo dado.

46

Dada uma linha reta, é possível construir um quadrado.

47

(Teorema de Pitágoras): Nos triângulos retângulos o quadrado construído sobre o lado oposto ao ângulo reto é igual a somas dos quadrados construídos sobre os lados que compreendem o ângulo reto.

48

Se o quadrado feito sobre um lado de um triângulo for igual aos quadrados dos outros dois lados, o ângulo compreendido por estes dois lados será reto.
 

Comentários sobre os Elementos:

Sobre as Definições

Agrupamos as definições do livro I como termos primitivos e termos definidos.  O conceito atual de definição (ou termos definidos) é que ela deve introduzir um novo termo técnico a partir dos termos introduzidos anteriormente. Sob esse prisma os termos definidos 1,2,3 e 4 não são definições propriamente ditas. Note que “parte” (em 1.), “comprimento sem largura” (em 2.) e “assenta igualmente entre” (em 4) são conceitos não definidos anteriormente, embora sejam “intuitivos”, motivo pelo qual foram classificados como termos primitivos (que são os termos inicialmente introduzidos num sistema axiomático material, de conhecimento geral e universalmente aceitos). Embora Euclides não tenha feito essa segregação, ele a utiliza segundo os conceitos atuais em suas demonstrações, não citando os termos primitivos para justificar uma passagem da prova.

Pelos termos definidos podemos notar que pontos, retas e planos são conceitos primitivos, considerados como entidades ideais. As linhas citadas em 2. podem ser linhas retas ou curvas (quando o texto se refere à reta, a mesma é citada como “linha reta”), de extensão finita. Em 3. é explicitada a relação entre ponto e linha, que neste caso refere-se a segmento de reta. Em 4, temos que “a menor distância entre dois pontos é uma reta”, expressão criada 50 anos depois dos Elementos, por Arquimedes. As definições 5., 6. e 7. são análogas as 2., 3. e 4. para duas dimensões. Em 5. devemos considerar superfície como podendo ser plana ou curva, com extensão finita. O livro I refere-se somente a geometria plana, embora muitas de suas proposições se estendem à geometria espacial.

Da definição 8. à 23. podemos considerar que, segundo os atuais conceitos, são verdadeiras definições. Se observarmos que em 8. há termos não definidos anteriormente como “inclinação”, devemos considerar que podemos reescrevê-lo a partir das definições anteriores: “um ângulo plano é formado por duas linhas em um plano as quais se encontram e não se apresentam em linha reta”. Ainda em 8., Euclides não cita que as duas linhas são linhas retas, mas somente em um teorema (livro III, teorema 16) é utilizado ângulo formado por linhas curvas. De todo modo Euclides ao utilizar a definição 8, redige como sendo “ângulo plano retilíneo”, que são ângulos cujas medidas estão entre 0º  e 180º. Podemos adotar por simplificação somente o termo ângulo como sendo um “ângulo plano retilíneo”.

Em 11. e 12. notamos que os conceitos de “ângulo maior” e “ângulo menor”, embora intuitivos, não são termos definidos. Em 15. temos uma definição de raio. Em 19. os triláteros são os atuais triângulos. Em 21. temos uma antecipação do teorema 17, o qual afirma que um triângulo pode ter no máximo um ângulo não agudo.

Sobre os Axiomas

São inicialmente apresentados 3 postulados e 12 axiomas. A diferença entre postulado e axioma, não mais utilizada, é que o primeiro refere-se às noções geométricas e o segundo as noções gerais e os reorganizamos no Quadro I (cinco primeiros postulados e os cinco primeiros axiomas).

Os postulados 1. e 2. são ditos postulados “da régua” e o 3. postulado “do compasso”, pois possibilitam a construção geométrica de linhas retas a partir de pontos, prolongar linhas retas finitas e construir  círculos a partir de seu centro. Euclides considera como critério de existência a possibilidade de construção dos objetos. Embora não esteja explícito, nos conceitos atuais, devemos considerar a construção de uma única reta e de um único círculo, respectivamente em 1. e 3 e ainda em 2. que se possa prolongar uma reta, o quanto se queira, em ambos os lados. Observe que por 3. é possível traçar um circulo com raio e centro definidos, mas não permite traçar um círculo com raio igual a um segmento dado, ou seja, ainda não é possível transportar um segmento (que será garantido pelo teorema 2).

Os axiomas, são as noções comuns,  regras gerais relacionadas às grandezas, que na geometria plana são de três tipos: comprimento de retas finitas, amplitude de ângulos e áreas. Podemos representar as noções 1., 2., 3. e 5. algebricamente, considerando a, b, c e d representantes de grandezas homogêneas quaisquer. Em 4. temos um conceito geométrico qualitativo (coincidência), o da superposição de figuras, que foi rejeitado por Hilbert. TRUDEAU (2004, p.59) afirma que Euclides poderia substituir os axiomas 1,2,3 e 5 por uma regra mais geral, que foi considerada implicitamente: "grandezas geométricas obedecem às mesmas leis dos números positivos". A superposição de figuras para garantir a congruência será amplamente questionada na análise de sua obra.

 

Sobre os teoremas demonstrados sem o quinto postulado

Euclides utilizou o V postulado somente na demonstração do 29º teorema em diante (até o 48º), com exceção do 31º.

Em 1. Euclides utiliza os postulados 1. e 3. para demonstrar que é possível construir um triângulo eqüilátero. Embora o triângulo eqüilátero tenha sido definido, segundo Euclides, sua existência é garantida por sua construção. E o mesmo será feito para os demais objetos. Nessa demonstração há a necessidade de garantir que dois círculos se intersectam em dois pontos distintos, o que só é evidente na demonstração de Euclides se observamos a figura. A questão da continuidade (de retas, triângulos, círculos) é considerada “evidente”, fato muito criticado por seus sucessores.

Em 2. é garantido a construção, a partir de um ponto, de um segmento igual a um segmento dado, em uma outra região do plano (transporte de segmentos). Embora não expresso, esse ponto dado será o extremo do segmento desejado.

Em 4. temos o critério de congruência dos triângulos Lado-Ângulo-Lado (LAL). Para atualização dos termos utilizados na definição dada por Euclides, seria necessária a inclusão da definição de congruência, que deveria substituir o termo “igual” utilizado nos Elementos. Ainda no teorema 4, ressaltamos que triângulos iguais (congruentes), são os que apresentam a mesma área.

Na demonstração desse teorema, Euclides utiliza a Noção Comum 4, que afirma que coisas que coincidem umas com outras são iguais entre si. Esta é uma das mais criticadas afirmações dos Elementos, desde o séc. XVI, pois a superposição de figuras passou a ser encarada como uma experiência sensorial. Nota-se que Euclides, mesmo podendo utilizá-la em outras ocasiões facilitando as provas apresentadas, só o fez em dois momentos (Teoremas 4 e 8).

O Teorema 8 apresenta o caso de congruência Lado-Lado-Lado (LLL).Como já comentado, a demonstração desse teorema, segundo Euclides, recorre a superposição de figuras (noção comum 4) mas é possível um outro caminho para prová-lo que seria a utilização do teorema 23.

Para entender a relevância do teorema 9, devemos considerar que, para Euclides, a medida de um ângulo (sua grandeza) só era representável dento da geometria e sua existência devia ser provada por construção geométrica. Para tanto Euclides precisou escolher um ponto qualquer pertencente a uma das retas. Os Elementos não prevê explicitamente a possibilidade de se escolher um ponto qualquer, seja do plano, seja entre os extremos de uma reta, seja no interior ou no exterior de um dado círculo ou triângulo ou ainda de uma determinada parte de uma reta.

O teorema 26 foi subdividido nas partes a e b, pois apresentam demonstrações distintas, assim como o teorema 32.

 

·     Sobre os teoremas demonstrados com o quinto postulado

Os teoremas 29, 30 e o 32 até 48, do livro I, são demonstrados com o quinto postulado (ou com algum teorema provado com o seu emprego). O teorema 47 é o conhecido teorema de Pitágoras[1]. Finalmente, na demonstração do teorema 32, Euclides cita um paralelogramo, sem uma definição precedente.

 Segundo Fernández,

Podemos dizer que o rigor da lógica de Euclides se baseia, em muitos casos, em intuições adquiridas pelo hábito de nossas representações espaciais e que os Elementos não resolvem satisfatoriamente o problema de fundamentar a geometria (apresentação de um número suficiente de definições, axiomas e postulados que servem de base para uma demonstração rigorosa de todos os teoremas que aparecem). (FERNÁNDEZ, 2004, p.59, tradução nossa do original em espanhol).

 

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REFERÊNCIAS

 

[1] Segundo Cabrera (1949), a relação entre o quadrado da hipotenusa e os quadrados dos catetos de um triângulo retângulo era conhecida, pelo menos em casos particulares desde a 12ª dinastia egípcia (c. 1800 a.C.). Nas inscrições babilônicas, no séc. XX a. C. e também na Índia, nos séc. IV e V a. C. ela também aparece. Atribui-se a Pitágoras a generalização e a primeira demonstração desse teorema.

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