Atividade 4: Ângulo de Paralelismo
 

Definição Hiperbólica 04: As retas b e c são paralelas assintóticas à reta a por P. A perpendicular à reta a por P forma com as retas b e c ângulos denominados "Ângulos de Paralelismo".

e são os ângulos de paralelismo.

 

 

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Explore dinamicamente a figura. Movimente o ponto P no semi-plano superior determinado pela reta a:

Analise a medida dos ângulos e .

Como se comporta o ângulo de paralelismo quando P se aproxima ou se afasta de Q ?

 

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TH 03: As paralelas assintóticas b e c em relação à reta a por P formam ângulos de paralelismo congruentes e agudos

e são congruentes e agudos

Demonstração

Hipótese: Sejam b e c as paralelas assintóticas à reta a por P,  , e os ângulos de paralelismo

Tese:  e  são congruentes e agudos
No do Passo Passo Justificativa

01

Sejam b e c as paralelas assintóticas à reta a por P , e os ângulos de paralelismo, com

Hipótese

02

Demonstraremos que :

  1. Suponhamos

Negação da Tese
  1. Tracemos tal que
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C 04;02.1; construção

02.1; 02.2; P 06

  1. está no interior de

02.2, 02.3

  1. não é paralela à reta a por P (b é paralela assintótica e está 'abaixo' dela, o que significa que é secante à reta a)

01; 02.4; DH 03

  1. Prolonguemos até intersectar a reta a no ponto S

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02.5; O 02 ;Ct 01; construção
 
  1. Tomemos T em a tal que e tracemos

 

 

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C 01; construção; I 01

  1. , pois (por construção, passo 02.7), (retos, pela hipótese e D 13) e (comum)

02.7; 01; T 01 (LAL)

02.8

02.2; 02.9; P 01

  1. Mas

P 04

  1. Contradição. Logo não é maior que  .

02.10; 02.11

  1. Analogamente, supomos e provarmos que   não é menor que  , sendo portanto congruentes entre si().

02.1 a 02.12

03

Demonstraremos que e são agudos

  1. Suponhamos que e sejam retos

Negação da Tese
 

  1. As retas b e c formam uma única reta

  2. Mas b e c são retas distintas (hipótese)

  3. Contradição. Logo e não são retos

T 05 ; 03.1

AH 01

03.1.a e 03.1.b

  1. Suponhamos que e sejam obtusos

Negação da Tese
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a. Tracemos  a reta tal que seja reto..

 T 02

b. .

 03.2; 03.2.a e D 08

c. passa pelo interior do ângulo .

 03.2.b

d. Logo é secante à reta a.

 DH 03

e. Mas é paralela à reta a por P.

03.2.a; T 07, 01

 

 

f. Contradição. Logo  e não são obtusos.

 03.2.d;  03.2.e

04

Portanto os ângulos e  são agudos, uma vez que não são nem retos nem obtusos

03.1.c e 03.2.f

 

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Analise a seguinte situação: na geometria euclidiana não há correspondência entre a altura e a medida do ângulo. Analise o que ocorre com o ângulo de paralelismo de dois segmentos de mesma altura. (). O que você pode afirmar ?

 

 

 

 

 

 

 

Resposta

Após a atividade 4, o Quadro Resumo foi atualizado.

RGH

Resumo da Geometria Hiperbólica (RGH)

 

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Resposta: a altura de um segmento determina a medida do ângulo de paralelismo, ou seja, as paralelas assintóticas a uma reta dada, por pontos que apresentam a mesma distância dessa reta, determinam ângulos de paralelismo congruentes.