O CONCEITO "FUZZY"

Usamos, no cotidiano, conceitos subjetivos para classificar ou considerar certas situações tais como :

ou ainda :

Nos exemplos acima, os termos entre aspas são "fuzzy" no sentido que envolvem imprecisão e são conceitos vagos.

O conceito "fuzzy" pode ser entendido como uma situação onde não podemos responder simplesmente "Sim" ou "Não". Mesmo conhecendo as informações necessárias sobre a situação, dizer algo entre "sim" e "não" como por exemplo "talvez", "quase", ....se torna mais apropriado.

Considere, por exemplo, informações como "homens altos" , "dias quentes" ou "vento forte". Nada existe que determine exatamente qual a "altura" , "temperatura" ou "velocidade" que podemos considerar como limites para tais informações. Se considerarmos como alto todos os homens com mais de 1,90m, então um homem com 1,88m não seria "alto" e sim "quase alto".

ESBOÇO HISTÓRICO DA LÓGICA "FUZZY".

As primeiras noções da lógica dos conceitos "vagos" foi desenvolvida por um lógico polonês Jan Lukasiewicz (1878-1956) em 1920 que introduziu conjuntos com graus de pertinência sendo 0 , ½ e 1 e, mais tarde, expandiu para um número infinito de valores entre 0 e 1.

A primeira publicação sobre lógica "fuzzy" data de 1965, quando recebeu este nome. Seu autor foi Lotfi Asker Zadeh (ZAH-da) , professor em Berkeley, Universidade da California.

Zadeh criou a lógica "fuzzy" combinando os conceitos da lógica clássica e os conjuntos de Lukasiewicz, definindo graus de pertinência.

Entre 1970 e 1980 as aplicações industriais da lógica "fuzzy" aconteceram com maior importância na Europa e após 1980, o Japão iniciou seu uso com aplicações na indústria. Algumas das primeiras aplicações foram em um tratamento de água feito pela Fuji Electric em 1983 e pela Hitachi em um sistema de metrô inaugurado em 1987. Por volta de 1990 é que a lógica "fuzzy" despertou um maior interesse em empresas dos Estados Unidos.

Devido ao desenvolvimento e as inúmeras possibilidades práticas dos sistemas "fuzzy" e o grande sucesso comercial de suas aplicações, a lógica "fuzzy" é considerada hoje uma técnica "standard" e tem uma ampla aceitação na área de controle de processos industriais.

CONJUNTOS "FUZZY"

Na teoria clássica, os conjuntos são denominados "crisp" e um dado elemento do universo em discurso (domínio) pertence ou não pertence ao referido conjunto.

 Na teoria dos conjuntos "fuzzy" existe um grau de pertinência de cada elemento a um determinado conjunto. Por exemplo considere os conjuntos abaixo:

· Conjunto das pessoas com alta renda.

· Conjunto das pessoas altas.

Podemos verificar que não existe uma fronteira bem definida para decidirmos quando um elemento pertence ou não ao respectivo conjunto nos exemplos acima. 

Com os conjuntos "fuzzy" podemos definir critérios e graus de pertinência para tais situações.

A função característica (crisp sets) pode ser generalizada de modo que os valores designados aos elementos do conjunto universo U pertençam ao intervalo de números reais de 0 a 1 inclusive, isto é [0,1].

: U [ 0,1].

Estes valores indicam o GRAU DE PERTINÊNCIA dos elementos do conjunto U em relação ao conjunto A, isto é, quanto é possível para um elemento x de U pertencer ao conjunto A . 

Tal função é chamada de FUNÇÃO DE PERTINÊNCIA e o conjunto A é definido como "CONJUNTO FUZZY".

CONCEITOS  IMPORTANTES

Observe o exemplo abaixo : 

Seja o conjunto universo U ={5,10,20,30,40,50,60,70,80} e consideremos os seguintes conjuntos "fuzzy" : A={crianças}, B={jovens}, C={adultos} e D={velhos} para os quais atribuimos os graus de pertinência dos elementos do conjunto U na seguinte tabela:
 

IDADE

Criança

Jovem

Adulto

Velho

5

0

1

0

0

10

0

1

0

0

20

0

0.8

0.8

0.1

30

0

0.5

1

0.2

40

0

0.2

1

0.4

50

0

0.1

1

0.6

60

0

0

1

0.8

70

0

0

1

1

80

0

0

1

1

sup A= { x Î U | (x) > 0 }

Exemplos: 

sup (jovem) = { 5,10,20,30,40,50}

 Na tabela anterior o suporte do conjunto "fuzzy""crianças" é o conjunto vazio Æ .

| A | = (x)

Exemplo: 

| velho | = 0+0+0.1+0.2+0.4+0.6+0.8+1+1 = 4.1

OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS "FUZZY"

· O conjunto "fuzzy" A é um SUBCONJUNTO de um conjunto "fuzzy" B se o grau de pertinência de cada elemento do conjunto universo U no conjunto A é menor ou igual que seu grau de pertinência no conjunto B; ou seja para todo x Î U , (x) £ (x) e indicamos A B.

Exemplo: Na tabela anterior o conjunto "fuzzy" "velho" é um subconjunto do conjunto "fuzzy""adulto" pois para todo x Î U temos: (x) £ (x)

· Os conjuntos "fuzzy" A e B SÃO IGUAIS se (x) =(x) para todo elemento x Î U e indicamos

  A = B .

· Os conjuntos "fuzzy" A e B NÃO SÃO IGUAIS se (x) ¹ (x) para no mínimo um x Î U e

 indicamos A ¹ B .

· O conjunto "fuzzy" A é um SUBCONJUNTO PRÓPRIO do conjunto "fuzzy" B quando A é um subconjunto de B e A ¹ B ,isto é,

(x) £ (x) para todo x Î U e

(x) ¹ (x) para no mínimo um x Î U e indicamos A B se e somente se A B e A ¹ B

Exemplo : Na tabela anterior o conjunto "fuzzy" "velho" é um subconjunto próprio do conjunto "fuzzy""adulto" pois para todo x Î U temos:

(x) £ (x)

(x) ¹ (x) para no mínimo um x Î U.

· O COMPLEMENTO de um conjunto "fuzzy" A em relação ao conjunto universo U é indicado por A¢ e a função de pertinência é definido como :

(x) = 1 - (x) para todo x Î U

Exemplo : Se um elemento x Î U tem grau de pertinência 0.8 no conjunto "fuzzy" A, seu grau de pertinência em A¢ será 0.2.

 

· A UNIÃO de dois conjuntos "fuzzy" A e B é um conjunto "fuzzy" A B tal que

para todo x Î U (x) =max [(x) , (x) ]

 

· A INTERSECÇÃO de dois conjuntos "fuzzy" A e B é um conjunto "fuzzy" A B tal que

para todo x Î U (x) =min [ (x) , (x) ]

EXEMPLOS

Consideremos o conjunto U = [ 0 , 9 ] e sejam A e B dois conjuntos "fuzzy" e as respectivas funções de pertinência representadas pelas figuras:

                 : U ® [0,1]                                                   : U ® [0,1]

              

· Intersecção AÇ B: : U ® [0,1]

 

· União AÈ B : : U ® [0,1] 

              

· Complementar A¢ : : U ® [0,1]

CELINA ABAR
- 2004-