CONJUNTOS  "CLÁSSICOS"

Vamos introduzir  conceitos básicos sobre conjuntos clássicos ("crisp sets"), notações e terminologia que são usadas também nos conjuntos "fuzzy".

• CONJUNTOS: denotados por letras maiúsculas A,B,C,...
• ELEMENTOS: denotados por letras minúsculas x,y,z,....
• CONJUNTO UNIVERSO : denotado por U . O conjunto universo contém todos os elementos em cada contexto especificado do qual os conjuntos serão formados.
• x A : indica que um objeto é um elemento de um conjunto A .
• x A : indica que um objeto não é um elemento de A .
• Um conjunto pode ser descrito ou nomeando todos os seus elementos ou especificando alguma propriedade satisfeita por seus elementos. Exemplos:

1. O conjunto A cujos elementos são os números 1,2,3,4,5 indicamos : A ={1,2,3,4,5}

2. O conjunto B cujos elementos são os números naturais ímpares menores que 10 indicamos 

B ={x | x é número ímpar natural menor que 10}.

FUNÇÃO  CARACTERÍSTICA

O processo pelo qual se determina quais elementos do conjunto universo são elementos ou não de um conjunto é definido como função característica. Para um dado conjunto A, esta função é indicada como e para todo elemento x U temos:

(x) = 1 se x A         e      (x) = 0 se x A  

ou ainda, a função característica relaciona os elementos do conjunto universo U ao conjunto {0,1} e podemos indicar : : U { 0,1}.

Podemos representar a função característica através do diagrama de Venn como segue:

• 

• O número de elementos que pertencem ao conjunto A é chamado de cardinalidade do conjunto e indicamos | A | .

SUBCONJUNTOS 

• Se todo elemento do conjunto A é também elemento do conjunto B, isto é,

se x A então x B , A é chamado subconjunto do conjunto B e indicamos A B

Observe que " todo conjunto é subconjunto dele próprio" e "todo conjunto é subconjunto do conjunto universo U"

• Se A B e BA então A e B contém os mesmos elementos. Dizemos que A e B são iguais e indicamos A = B.
• Se A e B não são iguais indicamos A B.
• Se A B e A B então B contém no mínimo um elemento que não é elemento de A . Neste caso dizemos que A é um subconjunto próprio de B e indicamos A  B.
• O conjunto que não contém elementos é chamado de conjunto vazio e indicamos por Æ .

Observe que  "o conjunto Æ é subconjunto de qualquer conjunto" .

OPERAÇÕES   ENTRE   CONJUNTOS

• A UNIÃO dos conjuntos A e B é o conjunto que contém todos os elementos somente do conjunto A, somente do conjunto B ou a ambos A e B e indicamos:

A B = { x | xA Ú xB}

Observe que:

1. A união de conjuntos pode ser generalizada para qualquer número de conjuntos.

2. A U = U.

3. A Æ = A

4. A A¢ = U (lei do 3^O excluído)

5. = Ú = max { , }

  6. O diagrama de Venn correspondente :

• A INTERSECÇÃO dos conjuntos A e B é o conjunto que contém todos os elementos que pertencem a ambos A e B e indicamos:

A B = { x | xA Ù xB}

Observe que:

1. A intersecção de conjuntos pode ser generalizada para qualquer número de conjuntos.

2. A U = A.

3. A Æ = Æ

4. A A¢ = Æ (lei da contradição)

5. = Ù = min { , }

1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

  6. O diagrama de Venn correspondente :

7. Dois conjuntos quaisquer A e B são disjuntos se não contém elementos em comum, isto

é, se A B = Æ

• O COMPLEMENTO RELATIVO de um conjunto A em relação ao conjunto B é o conjunto que contém todos os elementos de B que não são elementos de A e indicamos :

B - A = {x | x B Ù x A}

Observe que :

1. U - A = { x | xU Ù xA} = A¢ (complementar de A)

= 1 -

1	0
0	1

2. A¢ ¢ = A

3. Æ ¢ = U

4. U¢ = Æ .

5.= Ù = min { , }

6. O diagrama de Venn correspondente :

Celina Abar
     2004