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[Os Elementos] constitui o desenvolvimento lógico mais rigorosamente tratado da matemática elementar que já fora eregido, e dois mil anos deveriam passar-se antes que surgisse uma apresentação mais cuidadosa. Durante esse intervalo a maior parte dos matemáticos considerou a exposição de Euclides como logicamente satisfatória e pedagogicamente aceitável. Boyer |
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A maioria das proposições é voltada para a construção geométrica, a partir da utilização de uma régua não graduada e de um compasso. A geometria elementar apresentada nos livros didáticos de ensino fundamental e médio está presente nessa obra que é composta por 465 proposições, sendo 93 problemas e 372 teoremas, deduzidas a partir de 5 axiomas, 5 postulados e 138 termos definidos. O livro I, destinado a apresentação da geometria plana, contém 48 proposições, deduzidas a partir de 5 axiomas, 5 postulados e 23 termos definidos. Essa obra, como a conhecemos, é resultado de muitas alterações ao longo dos séculos, devido às transcrições manuais, traduções e algumas introduções propositais, como a de Theon de Alexandria, que “não satisfeito com a versão transmitida por quase 700 anos, em uma linguagem mais clara, inseriu passos às demonstrações, acrescentou demonstrações alternativas e inseriu alguns teoremas secundários totalmente novos” (TRUDEAU, 2004, p.36, tradução nossa do original em italiano)[1]. Não discutiremos detalhadamente a geometria dos Elementos, exceto o que for necessário para a explanação do desenvolvimento das geometrias não-euclidianas, mas incluímos o Quadro 1.1, com a apresentação da axiomática presente no livro I. Notemos que, embora os Elementos seja um marco na história da matemática, considerando a época em que foi escrito, muitos de seus conceitos, embora intuitivos, não foram adequadamente esclarecidos. Exemplificando, noções como “estar entre”, “da mesma parte” e “maior que” não foram definidos. É dada grande importância aos desenhos que, sendo esclarecedores, faziam parte das demonstrações e as condições de existência de alguns elementos não são garantidas. Durante mais de 2.000 mil anos os Elementos foram aceitos como verdades evidentes, mas o V postulado, por não ser tão evidente como os demais, mesmo na Antiguidade, despertou o interesse de alguns matemáticos, que acreditavam que o mesmo poderia ser um teorema, passível de ser demonstrado a partir dos demais. Embora não se duvidasse de sua veracidade, além de não ser evidente, o seu inverso é um teorema (Teorema 17), o que contribuiu para se considerar a possibilidade de sua demonstração. Outro ponto é que, o próprio Euclides, só o utilizou a partir de sua 29ª proposição, mesmo se, em alguns casos, utilizá-lo em provas anteriores resultasse em demonstrações mais simples.
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